«The New Science Of Cities», una de las últimas obras de Michael Batty, geógrafo y profesor en el University College de Londres, ofrece al lector una nueva perspectiva para comprender la ciudad. Una perspectiva que propone un buen número de herramientas matemáticas para avanzar en nuestro entendimiento de esos fascinantes ecosistemas, en gran medida aún desconocidos, como son las aglomeraciones urbanas.
Las nuevas ciencias urbanas coinciden con un proceso de urbanización que lanza importantes retos a nivel global. Retos que van desde la búsqueda de una prosperidad económica más justa y equilibrada hasta la lucha contra el cambio climático, pasando por la mejora de la calidad de vida y la cohesión social. Para todo ello, las ciudades, hogar de más del 50% de la población mundial, son palancas de cambio imprescindibles, y no es de extrañar que hacia ellas se vuelquen los avances científicos realizados en numerosas disciplinas: sociología, economía, política, pero también biología, o astrofísica.
The New Science Of Cities: estudiando los flujos y el lugar
El enfoque que adopta Michael Batty en «The New Science Of Cities» se basa en el principio de que los lugares se crean, transforman y desaparecen como producto de las interacciones entre la gente; un enfoque complementario y totalmente compatible con el de otro urbanista destacado como es Jan Gehl, cuya aproximación al urbanismo el propio Gehl resume en “primero la vida, después los lugares y, finalmente, los edificios”. Para entender este proceso, pensemos en el ejemplo de las actividades comerciales. La actividad comercial que espontáneamente puede iniciarse en torno a un puerto, o a una plaza, puede dar lugar posteriormente al establecimiento de pequeños tenderetes o puestos callejeros que, con el tiempo, derivaran en la construcción del edificio llamado mercado. El modelado de esas interacciones (económicas en este caso), y cómo posteriormente esas interacciones cambian la morfología de la ciudad, es el objetivo principal de la batería matemática que Michael Batty presenta.
Michael Batty articula «The New Science Of Cities» en torno a tres principios básicos. En primer lugar, el principio de entender la ciudad como un conjunto de redes, para lo cual es necesario entender primero cómo funcionan los flujos (económicos, sociales, demográficos, de ideas, de tráfico…); recordamos, sólo a través de los flujos y las interacciones, según el autor, es posible entender cómo se transforma el territorio. En segundo, la noción de “escala” y su aplicación a los flujos y a las redes, pues es fundamental comprobar hasta qué punto las propiedades fundamentales del tejido urbano se modifican con su tamaño. En este punto, se presta especial atención a las matemáticas de fractales pues, como el autor señala, los procesos de organización del tejido urbano acaban desembocando en este tipo de estructuras, cuyas propiedades se mantienen esencialmente en diferentes escalas. Como tercer y último principio, el autor señala la necesidad de dotarnos de las capacidades de predicción de flujos, de manera que podamos anticipar las necesidades en servicio urbanos (por ejemplo, transporte) para una mejor gestión de nuestras ciudades.
Fundamentos matemáticos tras la complejidad urbana
Se dice que una función “escala” si:
siendo K una constante. Las únicas funciones que cumplen esta condición son las funciones potenciales y se pueden expresar de la siguiente forma:
Existen dos interesantes fenómenos que se explican mediante este tipo de funciones: el crecimiento poblacional en función del área construida y la distribución de las ciudades a nivel mundial en función de su población. Ambas funciones son potencias, en concreto:
donde P es la población que puede habitar en un área dada A, y
donde F es la frecuencia de aparición de ciudades de un tamaño poblacional P y K es un número mayor que 1. Esta última ecuación se denomina “Ley de Zipf”, la cual establece la relación entre el tamaño de un objeto (en este caso una ciudad) y su número, y rige en campos tan diferentes como la biología (distribución de la frecuencia de las especies en función del tamaño de sus individuos), la astrofísica (ídem con los cuerpos celestes) o el urbanismo.
Matrices de flujos y costes
Cualquier tipo de actividad en una ciudad puede representarse por medio de flujos. Por ejemplo, el tránsito en un cierto lugar de origen i (por ejemplo, un barrio residencial a primera hora de la mañana) es la suma de todos los viajes desde i a todos los posibles destinos (lugares de trabajo, colegios, etc). Igualmente, la actividad en un destino dado j (un polígono industrial, por ejemplo), es igual a la suma de los viajes hasta todos los posibles destinos.
Este tipo de actividad se representa convenientemente usando matrices de flujos, donde cada elemento de flujo o actividad puede representarse de la manera siguiente. Sea Tij el flujo de tráfico entre dos puntos i y j, Oi el volumen de tráfico cuyo origen es i, y Dj el volumen de tráfico cuyo destino es j. Entonces:
, 
donde I es número total de lugares origen y J es número total de lugares destino. Suponiendo, como ocurre para la mayor parte de aplicaciones, que I=J, entonces definimos N como N=I=J, por lo que la actividad total T en la ciudad puede formularse como
El problema de la planificación del transporte en una ciudad, consiste en la minimización del coste global C asociado a los desplazamientos, sea éste formulado en términos económicos, medioambientales o de tiempo. Dicho problema se formula, tradicionalmente como
donde cij representa el coste de trasladarnos entre los puntos i y j. Si, para plantear el problema nos centramos en los distintos lugares, se puede ver que habrá, al menos N! soluciones posibles, es decir, valores para T a un enlace ij, que cumpla las restricciones planteadas en las ecuaciones anteriores. Mientras que si nos fijamos únicamente en los flujos, hay N² flujos posibles. La diferencia es notable a nivel de complejidad computacional: en el caso del tráfico en los distritos de Londres (33), el planteamiento centrado en los lugares da 1037 posibles distribuciones de viajes, mientras que su formulación en términos de flujos nos da un número mucho más manejable de 1089 posibles flujos.
Grafos y redes
Para hacernos cargo de la importancia de la comprensión de las redes para entender, a su vez, el entramado urbano, bastaría recordar que vivimos cada vez más en una sociedad conectada, o hiper-conectada. Por ello, una vez analizados los flujos entre distintos lugares, el autor de «La nueva ciencia de las ciudades» avanza un paso más: introduciendo al lector a la topología de redes mediante la teoría de grafos. No es objeto de este trabajo la descripción de la teoría, sino tan solo mencionar alguna propiedad significativa de la misma para describir las ciudades, como por ejemplo, el tipo de grafo llamado “Small world” (pequeño mundo), un tipo particular definido por la propiedad de que la mayor parte de los nodos no son vecinos entre sí.
Como curiosidad, mencionar que la distancia media entre dos nodos en este tipo de grafos es
donde P es la población total y N el número de vecinos por nodo. Si suponemos que éste es un modelo adecuado para representar la población mundial en términos de “conocidos”, la ecuación para una población mundial P de 7.000.000.000 habitantes y un número de conocidos por habitante de unas 100 personas,arroja como resultado un número medio de conexiones d = 4,9, que correspondería al grado medio de separación entre dos habitantes cualesquiera del planeta. Este número es inferior al conocido resultado “La teoría de los 6 grados de separación” que caracteriza lo que se conoce como el problema del “pequeño mundo”.
Sin embargo, éste no puede ser considerado como un modelo válido ya que la población crece en comunidades de manera que los 100 conocidos de cada nodo tienen muchos en común con los 100 de otro nodo a 1 grado de distancia. De ahí que la distancia media, o grado medio de separación entre los nodos, sea algo superior.
El segundo tipo de grafos de interés es el de los grafos planares. Muchos de los grafos utilizados en el estudio de ciudades tienen los nodos ligados a espacios físicos, pero no así los enlaces entre ellos, como por ejemplo los enlaces de telecomunicaciones o aquellos que representan las redes sociales. Los grafos planares, sin embargo, son aquellos cuyos nodos y enlaces pueden ser embebidos en un plano y no puede haber intersecciones entre sus enlaces. Lógicamente, la red viaria de una ciudad se corresponde con este tipo de grafos y cumple la interesante propiedad de que:
siendo N el número de nodos o intersecciones, C el número de calles y M el número de manzanas (en el caso del número de manzanas, la ecuación considera que todo el terrirorio exterior a la ciudad ha de considerarse como una manzana adicional.)
Consensos en el diseño de nuestras ciudades
Grafo bi-partito con diferentes cantidades de flujo entre nodos. Fuente: Michael Batty. www.complexityinfo.com
Comprender las redes y sus flujos, bien sean de tráfico, sociales, financieros, o energéticos, es necesario para comprender las ciudades, pero no es suficiente. Las redes están relacionadas unas con otras, en una superposición de niveles que dista mucho de ser estanca. Por ejemplo, la distribución de energía en la ciudad tiene relación con la actividad comercial, industrial, y ésta, a su vez, con la movilidad. Se trata de redes interrelacionadas. Para comprender la ciudad es necesario, por tanto, considerar relaciones entre redes, o grafos, distintos.
Un grafo cuyos nodos se pueden dividir en dos subconjuntos tales que un nodo de un subconjunto se relaciona sólo con los nodos del otro conjunto, es un grafo bi-partito.
Podemos pensar en los grafos bi-partitos como representaciones de dos conjuntos de elementos U y V, en los que los elementos de U se relacionan entre sí forzosamente a través de un elemento del otro conjunto V. Imaginemos, de nuevo, la red viaria, y tomemos como conjuntos las calles, por un lado, y las intersecciones o cruces, por otro. Es evidente, que para pasar de una calle a otra es necesario transitar por una intersección y que, a su vez, dos intersecciones sólo pueden relacionarse entre sí a través de una calle.
Una manera más cómoda de representar estas relaciones es desdoblando el grafo bi-partito, de manera que representemos uno de los conjuntos por duplicado, como se muestra en la figura siguiente.
Representación de grafos bipartitos uniendo a) orígenes y b) destinos. Fuente: Michael Batty. www.complexityinfo.com
Como se aprecia en la representación, resulta más sencillo imaginarse la transición entre intersecciones a través de calles (izquierda) y entre calles a través de intersecciones (derecha).
A partir de estas representaciones, se pueden comprender las ciudades un poco mejor, calculando parámetros relevantes de la red viaria, como por ejemplo, la distancia, y la accesibilidad, definida a nivel de calles como el número de intersecciones a que una calle da acceso o, alternativamente, a nivel de intersecciones, como el número de calles a que una determinada intersección permite acceder. Evidentemente, cuanto mayor es la accesibilidad de una calle mayor es su importancia, en el sentido de que permite acceder a un mayor número de intersecciones y, a través de éstas, a otras calles. Y esta «importancia» o nivel de accesibilidad acaba influyendo decisivamente, a lo largo del tiempo, en parámetros tangibles como el precio de los locales comerciales.
Cómo crecen las ciudades: los fractales
Michael Batty se adentra en «The New Science Of Cities» también en la morfología urbana, para lo cual enumera tres fuerzas decisivas que sobre ella actúan: la “aglomeración”, o ley de la gravedad (impulsada por las interacciones económicas y sociales), la “globalización” (cuyo principal combustible son los mercados y que, a su vez, es fuente del desarrollo económico urbano) y, finalmente, la “descentralización” (de carácter repulsivo, y que responde a la necesidad humana de disfrutar de “más espacio”.) Centrémonos en la primera (“aglomeración” o gravedad) y la tercera (“descentralización” o búsqueda de espacios abiertos). Se trata de dos fuerzas que actúan de igual manera en la naturaleza. Por ejemplo, en un árbol, tanto las raíces como las hojas deben estar relativamente cerca del tronco para hacer del transporte de nutrientes un mecanismo eficiente. Al mismo tiempo, ambas partes del árbol luchan por la luz y los nutrientes, alejándose de otras raíces y otras hojas.
Un mecanismo muy similar opera en la formación de las ciudades: todos queremos vivir lo más cerca posible del centro para una mayor eficiencia en nuestros desplazamientos y, al mismo tiempo, queremos disfrutar de espacio suficiente; a ser posible, cultivar un jardín, o tener acceso a amplias zonas verdes donde poder pasear o correr. De igual manera que las calles (que no es sino la red de distribución de personas), las redes de distribución de energía o información han crecido como producto de fuerzas contrapuestas de similares características.
La formulación geométrica del asunto es que las funciones especializadas, como la distribución de nutrientes en una planta o de personas en una ciudad, dependen de la repetición de patrones regulares a diferentes escalas jerárquicas. En efecto, cuando los recursos son escasos, el espacio ha de ser rellenado de la forma más eficiente posible (un árbol tiene un espacio en el subsuelo para la expansión de sus raíces limitado por la proximidad de otros árboles). Los fractales son la manera más eficiente de rellenar el escaso espacio disponible.
Estructura fractal
Se puede pensar, alternativamente, en los fractales como la visualización geométrica en la naturaleza del darwinismo. Uno de los métodos para simular la formación de fractales es el de “agregación limitada por difusión” (DLA, “difussion-limited aggregation”). Imaginemos un asentamiento en el que sólo hay una familia viviendo. Ahora, programamos que un número X de familias se mueven aleatoriamente por las cercanías del asentamiento hasta que alguna de ellas “se topa” con la familia ya asentada, en cuyo caso se asienta en una parcela contigua. Si continuamos este proceso indefinidamente, se acaba obteniendo una estructura similar a la de la figura.
Desde una óptica de planeamiento urbanístico, no deja de resultar fascinante que un proceso cuya naturaleza es esencialmente auto-organizada desemboque en estructuras urbanas tan sumamente eficientes. Es decir, del aparente caos surge el orden más eficiente. Sin duda, toda una inspiración para abordar los procesos de diseño urbano con un enfoque mucho más participativo.
Existen multitud de procesos, fuerzas y agentes involucrados en el diseño de ciudad. Cuando no hay un urbanismo fuertemente planificado, las ciudades crecen orgánicamente a partir de pequeños grupos de población que se van extendiendo según caprichosas reglas. Los fractales representan bien este tipo de procesos “auto-organizados”. En lado opuesto de un planeamiento urbanístico fuerte, los procesos de diseño de ciudad se conducen de “arriba a abajo” (el caso de Brasilia es un ejemplo paradigmático de ese “planeamiento urbanístico” rígido). Sin embargo, cada vez más, el diseño urbano es consecuencia de complejas interacciones, de intrincadas correlaciones de fuerzas entre diversos agentes: políticos, económicos, cívicos, etc. La ciudad de hoy se planifica de arriba a abajo, se diseña desde variados ángulos y se construye en un zigzag de creciente incertidumbre e imprevisibilidad. En todo caso, y ciñéndonos al apartado del diseño de ciudad, casos como el de Gamonal (Burgos) demuestran que la capacidad de tomar decisiones con un cierto grado de consenso es fundamental en nuestro tiempo.
Fotografía de www.abc.com
Como quiera que, habitualmente, las dinámicas participativas en el diseño urbano han sido abordadas desde la óptica de las ciencias políticas, nos parece interesante el enfoque matemático que Michael Batty desvela en «The New Science Of Cities». El modelado matemático de un proceso de consenso se construye asignando pesos a las opiniones de los diversos agentes involucrados en la negociación o discusión sobre un asunto determinado. El proceso es de carácter iterativo: en cada iteración las discrepancias (distancias entre las diversas opiniones) se van suavizando hasta que se alcanza una especie de “opinión media”, que corresponde con el estado final (una especie de “punto medio” de carácter estacionario y estable de la negociación.)
El diseño urbano y las cadenas de Markov
Las cadenas de Markov son procesos estocásticos en los que cada estado sólo depende del estado anterior. El modelo básico de promediado que propone Michael Batty en «The New Science Of Cities» como modelo más ajustado a los procesos de negociación sobre diseño de ciudad, es el de una cadena de Markov de primer grado que conduce a un estado final estable (o consenso). En él, todos los actores están conectados entre sí, bien mediante redes de comunicación o bien directamente.
El proceso funciona de la siguiente forma: cada agente participante en el proceso de diseño parte en el instante T con una opinión inicial. Gracias a las adecuadas dinámicas de grupo y a la acción de mediadores, en cada estado las opiniones se comunican entre los agentes, poniéndose en común y tratando de que cada agente modifique parcialmente su idea. Esta modificación, en la práctica, lleva consigo el promediado de algún aspecto de su idea con las ideas de los demás agentes. Es decir, las opiniones de cada agente se permeabilizan con las de los demás. De esta forma, en el instante siguiente T+1 las nuevas opiniones así formadas vuelven a ser comunicadas al conjunto de agentes, que nuevamente las discuten, adoptando parcialmente algunos de los puntos de vista de los demás o, en términos matemáticos, promediándolas entre sí. El proceso termina cuando todos los agentes han llegado a una opinión similar. La citada convergencia hacia el consenso sólo puede ocurrir, como ya hemos mencionado, mediante las adecuadas dinámicas de mediación y gracias a una fuerte “conexión” entre los agentes que permita que las opiniones se transmitan adecuadamente.
Si tenemos:
- un número de agentes k,
- una matriz de adyacencia aij ,donde aij = 1 si los agentes i y j están conectados directamente y aij = 0 en caso contrario
- y una matriz de probabilidades (o pesos) pij que representa la influencia que la opinión del agente i representa para el agente j,
y si, por simplicidad, asumimos que j tiene la misma influencia sobre todos los agentes conectados con él, resulta que:
cumpliéndose, lógicamente que:
En estas condiciones, la cadena de Markov que representa el proceso se puede representar mediante:
A su vez, podemos representar esta estructura entre agentes con un grafo “fuertemente conectado”, en el que los nodos son los diversos agentes involucrados en el proceso de diseño urbano, y cuyos enlaces corresponden a la red de comunicación. Este grafo se muestra en la figura siguiente:
Ejemplo de grafo fuertemente conectado simulando un proceso de diseño urbano mediante consenso. Fuente: www.complexityinfo.com
Como hemos explicado anteriormente, los números en los enlaces corresponden a los pesos de la influencia que la opinión de un agente ejerce sobre otro agente adyacente. A medida que avanza el proceso de consenso (el cual, insistimos, necesariamente ha de ser conducido por especialistas en procesos de mediación), la diferencia entre las diferentes opiniones se va «suavizando». Este proceso de «suavizado» se ha simulado tomando como base una representación gráfica de las opiniones iniciales en la forma de mapa, para una mejor visualización
Fuente: complexityinfo.com
. El resultado se muestra en la siguiente figura.
Como se aprecia, al cabo de un cierto número de iteraciones se alcanza el suficiente grado de similitud o acercamiento entre opiniones (en un principio alejadas), para poder decir que el grupo ha llegado a un estado de acuerdo general o «consenso».
No queremos finalizar esta serie de artículos dedicados a la sorprendente relación entre las matemáticas y el urbanismo sin una consideración final. Que las matemáticas contribuyan a modelar y comprender cómo crecen nuestras ciudades no quiere decir que su diseño sea una ciencia exacta. Otras ópticas complementarias, como la visión humanística que ofrece Charles Landry en su obra «El arte de hacer ciudades», o la más tecnológica que nos presenta Anthony Townsend en su «Smart Cities», son igualmente válidas. Batty, Landry, Townsend, o antes Jan Gehl o Jane Jacobs, son referencias que el lector que participe en la apasionante tarea del diseño de ciudad o que, simplemente, busque adentrarse en la polifacética complejidad de lo urbano no puede dejar de estudiar.
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Autores: Belén Gracia y Daniel Sarasa
